admin / 25.12.2017

Теория хаоса — Студопедия

Все начинается с равновесного порядка. При слабом нагреве, когда перепад температуры от сковородки вверх по слою жидкости невелик, в ней почти нет конвективных потоков. И тогда, независимо от того, в каком состоянии «система» – жидкость на сковородке – была вначале (как говорят математики, независимо от начальных условий), в ней сохраняется равновесный порядок.

Сделав пламя под сковородкой немного побольше – увеличив подачу тепла, мы увидим, что жидкость начнет постепенно перемешиваться – возникнет конвекция. Нижние слои нагреются и станут легче, а верхние останутся холодными и тяжелыми. Равновесие таких слоев неустойчиво, и поэтому система переходит от равновесного порядка к неравновесному. Немного прибавив огня под сковородкой, мы увидим ячейки Бенара или, как теперь часто говорят, попросту «бенары» (на геометрическом языке фазового пространства этому явлению соответствует аттрактор типа устойчивого фокуса).

Продолжая нагревать жидкость на сковородке, мы вскоре сможем наблюдать разрушение бенаров. Этот процесс напоминает кипение – происходит переход от порядка к хаосу (в фазовом пространстве появился «странный аттрактор»).

Рис. 6.

Хорошо известным примером использования перехода «хаос – порядок» служит лазер. Однако этот пример не единственный. На схеме представлены известные сегодня научные «зоны», в которых изучаются и наблюдаются переходы «порядок – хаос» и «хаос – порядок», в частности, самоорганизующиеся структуры (внешний круг). В среднем круге расположены эффекты и понятия, заимствованные синергетикой у смежных научных дисциплин, а во внутреннем круге различным секторам соответствуют те новые пути и закономерности, которые могут быть использованы в каждой данной области знания благодаря обобщениям, сделанным синергетикой.

Сегодня поиски исследователей – главным образом математиков – направлены на то, чтобы выявить все типы нелинейных уравнений, решение которых приводит к детерминированному хаосу. Активный интерес к нему вызван тем, что одни и те же его закономерности могут проявляться в самых разных природных явлениях и технических процессах: при турбулентности в потоках, неустойчивости электронных и электрических сетей, при взаимодействии видов в живой природе, при химических реакциях и даже, по-видимому, в человеческом обществе. Отсюда следует фундаментальная значимость хаоса – его изучение может привести к созданию мощного математического аппарата, обладающего большой общностью и обширными возможностями для приложений.

Список литературы

ПригожинИ. От существующего к возникающему. М., «Наука», 1985.

ХакенГ. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М., «Мир», 1985.

СинайЯ.Г. Случайность неслучайного. М.. «Природа», №3, 1981.

АхромееваТ.С., КурдюмовС.П., МалинецкийГ.Г. Парадоксы мира нестационарных структур. М., «Знание», 1985.

МучникГ.Ф. Упорядоченный беспорядок, управляемые неустойчивости. «Химия и жизнь», №5, 1985.

Как воспользоваться упорядоченным беспорядком. «Химия и жизнь», №5, 1986.


ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]
перед публикацией все комментарии рассматриваются модератором сайта — спам опубликован не будет

Хотите опубликовать свою статью или создать цикл из статей и лекций?
Это очень просто – нужна только регистрация на сайте.

План

Введение

1. Возникновение и история теории хаоса

2. Порядок и беспорядок

3. Прикладной хаос

4. Основные принципы хаоса (аттракторы и фракталы)

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

6. Хаоса в других науках

7. Последствия хаоса

Вывод

1.Начиная с рубежа 1980-х — 1990-х годов в дискуссиях историков-методологов появилось новое направление, связанное с "наукой о сложном" (complexity sciences). Так принято называть новую междисциплинарную область исследований, в центре внимания которой находятся проблемы исследования систем с нелинейной динамикой, неустойчивым поведением, эффектами самоорганизации, наличием хаотических режимов. Единая наука о поведении сложных систем, самоорганизации в Германии названа синергетикой (Г. Хакен), во франкоязычных странах — теорией диссипативных структур (И. Пригожин), в США — теорией динамического хаоса (М. Фейгенбаум). В отечественной литературе принят преимущественно первый термин, наиболее краткий и емкий.

ТЕОРИЯ ХАОСА — раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.

История теории хаоса . Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта. Эдвард Лоренц в свое время рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас.

Лаплас заявил, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем". Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: "Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир".

Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: " Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно.

Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем.

Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму.

Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

В 1926–1927 голландский инженер Б.Ван-дер-Пол сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны, когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации.

В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть

В начале 1960-х годов американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение.

Теория хаоса

В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как «подкова Смейла». Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса.

То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял — и тоже в 1963 году — американский метеоролог Эдвард Лоренц . Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов — достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату. Этот результат — динамический хаос- есть непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.

С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым.

Важнейшая характеристика этого пространства — его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа — количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве.

2. Порядок и беспорядок

Теория хаоса является достаточно общей, чтобы охватить широкий круг явлений нашего мира и при этом будоражит воображение читателей. Ведь оказалось, что порядок возникает именно из хаоса, а не откуда-нибудь еще! С другой стороны, в современных научных представлениях о хаосе есть много моментов, требующих пристального внимания и углубленного изучения. Пожалуй, вопросов тут больше, чем ответов.

Порядок и беспорядок

Из соображений, которые, возможно, станут ясны ниже, вначале мы обратимся к двум исключительно важным понятиям современной науки: «порядок» и «беспорядок». Обычно нам кажется, что здесь все с самого начала ясно и понятно, но на самом деле это далеко не так. И понятие хаоса, в известной мере, становится интересным и важным именно потому, что только порядком и беспорядком нам тут не обойтись.

Прежде всего – что такое порядок и что такое беспорядок? В каком отношении они находятся друг с другом? И как отличить одно от другого? Вопросы эти, оказывается, отнюдь не тривиальны, в чем мы скоро убедимся.

В повседневной жизни принято полагать, что беспорядок – это отсутствие порядка. Такие понятия встречаются довольно часто, например «холод». Мы употребляем его на каждом шагу и понимаем, что имеется в виду. Более того, мы даже «измеряем» его с помощью термометра. И, тем не менее, холода как такового не существует. Существует тепло, а холод на самом деле является его недостатком. Но мы говорим «холод» так, как будто бы он был чем-то реальным (или, как говорят философы, субстанциальным).

А вот с понятием «беспорядок» все, в известном смысле, обстоит наоборот. Мы используем это слово как обозначение отсутствия чего-то (порядка), что именно и существует само по себе. Но возникает вопрос: а так ли это?

Поясним суть дела на конкретном примере, для чего представим себе письменный стол некоего профессора. Глядя на него, мы, вероятно, решим что все, что находится на нем, свалено в беспорядочную кучу. Однако сам профессор, не глядя, протягивая руку, безошибочно находит нужный ему предмет. И напротив, если уборщица разложит все аккуратными стопками, то профессор не сможет работать так же, как не смогла готовить бабушка в романе Рэя Брэдбери «Вино из одуванчиков» после генеральной уборки, устроенной на кухне тетей.

Может быть, следует признать, что то, что мы привыкли называть беспорядком отнюдь не является отсутствием того, что обычно называют порядком? Впрочем, есть и другой путь: оставить за словом «беспорядок» его привычное значение, и ввести в оборот другой термин для обозначения того, что мы часто, не задумываясь, также называем беспорядком, хотя в действительности имеем в виду нечто совершенно иное.


Теория хаоса

Теория хаоса — математический раздел, занимающийся изучением поведения нелинейных детерминированных систем. Для таких систем характерна сильная чувствительность к изменениям начальных условий. Это свойство называется хаосом.

Первые элементы теории хаоса появились в конце 19 века в работах Анри Пуанкаре о движениях в Солнечной системе. Наибольшее развитие теория хаоса получила во второй половине 20 века в работах Эдварда Лоренца и Бенуа Мандельброта. Термин «хаос» был введен в 1975 году Дж. Йорке и Т. Ли.

В 1954 году российский математик А. Н. Колмогоров разработал метод касающийся проблемы устойчивости Солнечной системы. В дальнейшем этот метод был усовершенствован его учеником В. И. Арнольдом и немецким математиком Ю. Мозером.

(упорядоченный )хаос

Эти работы положили начало теории хаоса, называемой КАМ (Колмогоров — Арнольд — Мозер), в которой вводятся понятия аттракторов и устойчивых орбит системы.

Эдвард Лоренц в 1961 году занимался изучением метеосистем. Он построил модель конвекции в атмосфере, состоящую из трех дифференциальных уравнений:

dx/dt = a(-x + y);
dy/dt = rx — y — xz;
dz/dt = -bz + xy.
В ходе эксперимента, Лоренц заметил некоторые особенности решения, возникающие примерно на середине счета. Поэтому он решил пересчитать полученные значения с этого момента, при этом, уменьшив число знаков после запятой (первоначально было 6 знаков, Лоренц уменьшил их число до 3). Ошибки, введенные таким образом, были не велики. Однако решение, которое сперва совпадало с первоначальным, со временем стало сильно отличаться, а потом перестало напоминать старое. Таким образом, Лоренц наблюдал существенную зависимость от начальных условий, т. е. хаос. В 1972 году им была опубликована статья «Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». Это название прекрасно иллюстрирует суть теории хаоса.

Благодаря работе Эдварда Лоренца стало известно, что уравнения поведения атмосферы, используемые при прогнозировании погоды, могут вести себя хаотически. Поэтому долгосрочные прогнозы подвержены «эффекту бабочки», т.е. невозможно предсказать погоду более чем на четыре или пять дней. Движение в Солнечной системе тоже хаотично, но для проявления непредсказуемости здесь требуются гораздо больше времени — десятки миллионов лет. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически вращается, изменяя направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это вращение как побочное действие приливных сил, создаваемых Сатурном Теория хаоса широко применяется в экономике для прогнозирования финансовых рынков и рынков ценных бумаг. Хаос имеет место и в биологических системах, в частности при описании моделей популяции или динамики эпидемий.

Еще одним примером проявлением хаоса является движение бильярдного шара. При ударе очень важно расположение кия относительно шара, необходимо рассчитать начальную силу и точность удара, а так же расположение шара, по которому наносится удар относительно других шаров. Все эти факторы очень сильно влияют на конечный результат. Малейшая неточность приводит к самым непредсказуемым результат — траектория движения может сильно измениться. Но даже если бильярдист правильно рассчитал все факторы после пяти- шести столкновений трудно предсказать дальнейшее движение шара.

Поделиться ссылкой

.

FILED UNDER : IT

Submit a Comment

Must be required * marked fields.

:*
:*