Элементы комбинаторики

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Теория вероятностей и математическая статистика − разделы математики, наиболее широко используемые в самых различных областях деятельности от маркетинговых исследований до социального прогнозирования. Для успешного овладения навыками решения прикладных задач необходимо освоить основные теоретические и практические аспекты теории вероятностей и математической статистики.

При решении вероятностных задач часто используются формулы комбинаторики – одного из разделов математики, который изучает различные комби­нации, составленные из заданного конечного множества различимых между собой объектов различной природы (буквы алфавита, цифры, предметы и др.).

Определение.Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от n до

Факториал натурального числа n обозначается n! и читается «эн факториал»

(3.1)

Факториал нуля равен единице

Пример 3.1.Сократить дробь:

Пример 3.2. Сократить дробь:

1. Установите .
2. Создать
3. F = вход? Если да, то является N.
4. Если нет, то установите , а затем снова начните с # 2.

Вы можете оптимизировать, используя предыдущий результат для вычисления нового ( ).

Это так же быстро, как движение в противоположном направлении, если не быстрее, учитывая, что разделение обычно занимает больше времени, чем умножение. Данный факториал гарантировано, что все целые числа, меньшие, чем качестве факторов в дополнение к А, так что вы потратили бы столько времени на факторинг, как вы просто вычисляли бы факториал.

Ну, если вы знаете, что M действительно является факториалом какого-то целого, то вы можете использовать

Вы можете решить эту проблему (или, действительно, решить ) и найти ближайшее целое число. Он все еще нелинейный, но вы можете легко получить приближенное решение путем итерации (на самом деле, я ожидаю, что коэффициент достаточен).

Вот код clojure:

Пусть n = 120, div = 2. 120/2 = 60, 60/3 = 20, 20/4 = 5, 5/5 = 1, возврат 5

Пусть n = 12, div = 2. 12/2 = 6, 6/3 = 2, 2/4 = .5, return ‘nil’

Если вы не знаете , является ли число или нет, достойным тестом является проверка, если он делится на все мелкие простые числа, пока приближение Стерлинга этого числа больше, чем В качестве альтернативы, если у вас есть таблица факториалов, но она не подходит достаточно высоко, вы можете выбрать самый большой фактор в своей таблице и убедиться, что делится на это.

В C из моего приложения Advanced Trigonometry Calculator v1.6.8

Что вы думаете об этом? Правильно работает для целых чисел факториалов.

Большинство чисел не находятся в диапазоне выходов факториальной функции. Если это то, что вы хотите проверить, легко получить приближение, используя формулу Стирлинга или количество цифр целевого номера, как упомянуто другими, а затем выполнить бинарный поиск, чтобы определить факториалы выше и ниже заданного числа.

Более интересным является построение обратной функции Гамма, которая расширяет факториальную функцию до положительных действительных чисел (и к наиболее сложным числам тоже). Оказывается, что построение обратного является трудной задачей. Тем не менее, он был определен явно для большинства положительных реальных чисел в 2012 году в следующем документе: http://www.ams.org/journals/proc/2012-140-04/S0002-9939-2011-11023-2/S0002- 9939-2011-11023-2.pdf . Явная формула приведена в следствии 6 в конце статьи.

Обратите внимание, что он включает интеграл в бесконечной области, но при тщательном анализе я считаю, что разумная реализация может быть построена. То, что лучше, чем простая схема последовательных приближений на практике, я не знаю.

п!

Как решать уравнения с факториалами

очень легко оценить. Поэтому продолжайте делиться на 2,3,5,7 … и проверьте экспоненты, сколько раз вы могли бы разделить.

Теперь вопрос в том, что у вас есть n! что представляет собой показатель простого p в нем?

Во-первых, n! может иметь только простые числа вплоть до n, включая n, если он является простым.

Вы добавляете один за каждый раз простой p, или любая его сила находится в пределах n. Сколько раз вы увидите p. Ну, это должен быть самый большой k, для которого

имея в виду

то же самое от премьер-министра

Алгоритм следует.

Предположим, что у нас есть 10888869450418352160768000000

Мы можем разделить

2, 23 раза

3, 13 раз

5, 6

7, 3

11, 2

13, 2

17, 1

23, 1

не делится на 29

Это означает, что это число от 23 до 29. (Обычно диапазон намного больше, но этот пример по-прежнему полезен).

Теперь мы можем использовать бинарный поиск между 23 и 29, чтобы получить набор, который можно разделить на 2, 23 раза. Обратите внимание, что может быть только два таких числа. Мы пробуем 26 и легко обнаруживаем, что это

Если это не так, мы продолжим сегмент 23-26 или 26-29 в зависимости от результата.

Таким образом, это либо 26, либо 27. Мы делаем то же самое для 3 и остальных, пока не получим совпадение ни с одним из двух возможных чисел. Числа будут иметь разный результат для хотя бы одного из заданных простых чисел.

Поэтому, если вышеперечисленное является факториалом, это факторный показатель 27. Проверка того же, что и выше для 5,7,11,13,17,19 и 23, показывает, что все в порядке и что это действительно 27.

Таблица факториалов

— версия для печати

Определение (что такое факториал)

Факториал числа — результат последовательного умножения числа на все натуральные числа меньшие данного числа и большие единицы. Обозначается факториал восклицательным знаком после числа — «n!».

Факториал натурального числа n можно также определить как рекуррентную функцию F (n). Определяется она следующим образом: F (0) = F (1) = 1; F (n) = n * F (n-1).

Пример:

7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040

Не стоит забывать

По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). Этот факт важен, к примеру, для вычисления биномиальных коэффициентов.

Полезный факт

Факториал числа, функцию от натурального аргумента можно продолжить на все действительные числа с помощью т.н.

Примеры решения факториалов

Гамма-функции (важно отметить, что для этого требуется определенный математический аппарат). В таком случае, мы сможем посчитать факториал любого действительного числа. Например, факториал (или, Гамма-функция, что математически правильнее) числа Пи Π! приблизительно равен 2.28803779534. Факториал числа Эйлера, другого трансцендентного числа, Γ(e) ~ 1.567468255 (упрощенно, факториал числа e).

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

Определение.Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от n до

Факториал натурального числа n обозначается n! и читается «эн факториал»

(3.1)

Факториал нуля равен единице

Пример 3.1.Сократить дробь:

Пример 3.2. Сократить дробь:

Слово факториал произошло от латинского factor (делающий, производящий).

Запомните!

Факториал числа — это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число).
Обозначается факториал восклицательным знаком «!».

Примеры:

• 3! = 1 · 2 · 3 = 6
• 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720

Факториал определён только для натуральных чисел и нуля.

Запомните!

Факториал нуля и единицы это 1.

Термин факториал ввел в 1800 году францзузский математик Аргобаст Луи Франсуа Антуан.

Обозначение «n!» придумал чуть позже немецкий математик Кристиан Крамп в 1808 году.

Интересные факториалы проверьте сами:

• 145 = 1!

  + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

• 40 585 = 4! + 0! + 5! +8! + 5!

На нашем ресурсе вы также можете посчитать факториал онлайн.